Question

18．（1）已知幂函数f（x）=（t³-t+1）x${\;}^{\frac{1}{5}（7+3t-2{t}^{2}）}$ （t∈Z）是偶函数，且在区间[0，+∞）上是增函数，求整数t的值，并作出相应的幂函数的大致图象；
（2）已知幂函数f（x）=$\frac{1}{{x}^{2-m-{m}^{2}}}$在（-∞，0）上是减函数．求m的最大负整数值．

Answer 1

分析 （1）由幂函数的定义、奇偶性和单调性，能求出整数t的值，并作出相应的幂函数的大致图象．
（2）由已知条件利用幂函数的性质得$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+m-2是偶数}\\{{m}^{2}+m-2＞0}\end{array}\right.$，由此能求出m的最大负整数值．

解答 解：（1）∵幂函数f（x）=（t³-t+1）x${\;}^{\frac{1}{5}（7+3t-2{t}^{2}）}$ （t∈z）是偶函数，
且在区间[0，+∞）上是增函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{3}-t+1=1}\\{\frac{1}{5}（7+3t-2{t}^{2}）＞0}\\{7+3t-2{t}^{2}偶数}\end{array}\right.$，
解得t=1或t=-1．
t=1时，f（x）=${x}^{\frac{2}{5}}$，t=-1时，f（x）=${x}^{\frac{8}{5}}$．
（2）∵幂函数f（x）=$\frac{1}{{x}^{2-m-{m}^{2}}}$=${x}^{{m}^{2}+m-2}$在（-∞，0）上是减函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+m-2是偶数}\\{{m}^{2}+m-2＞0}\end{array}\right.$，
解得m＞1或m＜-2，
∴m的最大负整数值为-3．

点评 本题主要考查幂函数的定义以及幂函数的性质，要求熟练掌握幂函数的定义和幂函数的性质，是基础题．