Question

9．设数列{a_n}前n项和为S_n，满足a₁=1，S_n+1=2S_n+2n+1，n∈N₊．
（1）求a₂的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）通过a₁=1、在S_n+1=2S_n+2n+1中令n=1，直接计算即得结论；
（2）通过S_n+1=2S_n+2n+1与S_n+2=2S_n+1+2（n+1）+1作差、整理可知a_n+2=2a_n+1+2，变形可知a_n+2+2=2（a_n+1+2），进而可知数列{a_n+2}是以3为首项、2为公比的等比数列，计算即得结论．

解答 解：（1）∵a₁=1，S_n+1=2S_n+2n+1，
∴a₁+a₂=2a₁+2+1，
整理得：a₂=a₁+2+1=1+2+1=4；
（2）∵S_n+1=2S_n+2n+1，
∴S_n+2=2S_n+1+2（n+1）+1，
两式相减得：a_n+2=2a_n+1+2，
整理得：a_n+2+2=2（a_n+1+2），
又∵a₂+2=4+2=6=2（1+2）=2（a₁+2）满足上式，
∴数列{a_n+2}是以3为首项、2为公比的等比数列，
∴a_n+2=3•2^n-1，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=-2+3•2^n-1．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．