Question

20．已知关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+1}{x-1}≥0，①}\\{（x-2a+1）（x-{a}^{2}）≤0，②}\end{array}\right.$ 其中a∈R．
（1）若不等式组的解集是空集，求a的取值范围；
（2）若不等式组的解集是非空集{x|b≤x≤-1}，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）解不等式①可得x＞1或x≤-1，解不等式②2a-1≤x≤a²，由空集可得a²≤1 且2a-1＞-1，解关于a的不等式组可得；
（2）可得不等式组的解集是2a-1≤x≤-1 或1＜x≤a²，结合题意可得b=2a-1且a²≤1，由此可得b的范围．

解答 解：（1）解不等式①可得x＞1或x≤-1；
解不等式②2a-1≤x≤a²，
∵解集是空集，
∴a²≤1 且2a-1＞-1
解得0＜a≤1；
（2）如果解集是非空的可得2a-1≤-1或a²＞1，
此时的解集是2a-1≤x≤-1 或1＜x≤a²，
∵不等式组的解集是非空集{x|b≤x≤-1}，
∴b=2a-1且a²≤1，
解不等式a²≤1可得-1≤a≤1，
∴2a-1的范围即-3≤b≤1，
结合不等式的解集可得-3≤b≤-1

点评 本题考查不等式组的解集，涉及集合与集合间的关系，属中档题．