Question

12．定义在（0，∞）上的函数f（x），对于任意的x，y∈（0，+∞）．都有f（xy）=f（x）+f（y）成立，当x＞1时，f（x）＞0．
（1）计算f（1）；
（2）判断函数f（x）在（0，∞）上的单调性；
（3）若f（2）=1，解不等式3-f（x+2）＞f（x）．

Answer 1

分析 （1）令x=y=1，代入f（x•y）=f（x）+f（y）即可得到f（1）的方程，解之即可求得f（1）．
（2）设x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，利用定义法作差，整理后即可证得差的符号，进而由定义得出函数的单调性．
（3）由已知可得，f（8）=f（2）+f（4）=3f（2）=3，原不等式可转化为f[x（x+2）]＞f（8），结合函数的单调性可得关于x的不等式，可求．

解答 解；（1）∵对任意x，y∈（0，+∞），都有f（x•y）=f（x）+f（y）．
令x=y=1可得f（1）=2f（1）．
∴f（1）=0．
（2）函数f（x）在（0，+∞）上单调增函数；
证明如下：设x₁＞x₂＞0，则 $\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＞1
∵当x＞1时f（x）＜0．
∴f（x₁）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$•x2）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）+f（x₂）＞f（x₂）．
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（3）∵f（2）=1，f（1）=0，f（x•y）=f（x）+f（y），
∴f（8）=f（2）+f（4）=3f（2）=3
∵3-f（x+2）＞f（x）．
∴f[x（x+2）]＞f（8）．
∵函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
∴$\left\{\begin{array}{l}x＞0\\ x+2＞0\\ x（x+2）＞8\end{array}\right.$，
∴0＜x＜4．

点评 本题考点是抽象函数及其应用，考查灵活赋值求值的能力以及灵活变形证明函数单调性的能力．