Question

2．已知函数f（x）=x²-4mx+4m²-1，若关于x的不等式f（f（x））＜0的解集为空集，实数m的取值范围是（-∞，-1]．

Answer 1

分析 可设f（x）=t，根据f（x）的解析式可求出t≥-1，从而由已知条件便可知f（t）＜0在t∈[-1，+∞）上无解，可得出判别式△＞0，这样m需满足$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{-4m}{2}＜-1}\\{f（-1）=4m+4{m}^{2}≥0}\end{array}\right.$，从而解该不等式组即可得出实数m的取值范围．

解答 解：设f（x）=t，t≥-1，根据题意知f（t）＜0，即不等式t²-4mt+4m²-1＜0在t∈[-1，+∞）上无解；
△=16m²-4（4m²-1）=4＞0；
∴m需满足$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{-4m}{2}＜-1}\\{f（-1）=4m+4{m}^{2}≥0}\end{array}\right.$；
解得m≤-1；
∴实数m的取值范围是（-∞，-1]．
故答案为：（-∞，-1]．

点评 考查换元法的运用，二次函数图象和x轴交点情况和判别式△的关系，可结合二次函数图象求解．