Question

10．若函数f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（1-x）=-f（2-x），当0＜x＜1时，f（x）=2^x，则f（${log}_{\frac{1}{2}}$7）的值为-$\frac{7}{4}$．

Answer 1

分析 根据条件求出函数的周期性，利用函数奇偶性和周期性的关系进行转化求解即可．

解答 解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（1-x）=-f（2-x），
∴-f（x-1）=f（x-2），
即-f（x+1）=f（x），
则f（x+1）=-f（x），f（x+2）=f（x），
则函数的周期是2．
f（${log}_{\frac{1}{2}}$7）=f（-log₂7）=-f（log₂7），
∵2＜log₂7＜3，
∴0＜log₂7-2＜1，
即0＜log₂$\frac{7}{4}$＜1，
∵当0＜x＜1时，f（x）=2^x，
∴f（log₂$\frac{7}{4}$）=${2}^{lo{g}_{2}\frac{7}{4}}$=$\frac{7}{4}$，
故f（${log}_{\frac{1}{2}}$7）=-f（log₂7）=-$\frac{7}{4}$，
故答案为：-$\frac{7}{4}$

点评 本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和周期性的性质进行转化是解决本题的关键．