Question

20．已知x、y∈R，用向量法证明x²+y²≥2xy．

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{a}$=（x，y），$\overrightarrow{b}$=（y，x），运用向量的数量积的性质：|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$|≤|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|，化简整理即可得证．

解答 证明：设$\overrightarrow{a}$=（x，y），$\overrightarrow{b}$=（y，x），
则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=xy+yx=2xy，
|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，
由|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$|≤|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|，
可得2|xy|≤x²+y²，
即有x²+y²≥2xy，
当且仅当x=y取得等号．

点评 本题考查不等式的证明，考查向量法证明不等式，注意构造向量，运用向量的数量积的性质，属于中档题．