Question

5．已知二次函数f（x）和二次函数g（x），m为常数，m＞0，对任意x∈R，f（x）≤f（m），且对任意x∈R，总有常数x₀使得g（x）≥g（x₀）=-2，如果f（m）=5，g（m）=25，f（x）+g（x）=x²+16x+13．
（1）求常数m的值；
（2）求g（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据题意便知x=m是f（x）的对称轴，x=x₀是g（x）的对称轴，从而可设f（x）=a（x-m）²+5，g（x）=$b（x-{x}_{0}）^{2}-2$，然后求出f（x）+g（x），这样根据已知的f（x）+g（x）=x²+16x+13，及g（m）=25即可得到四个关于a，b，m，x₀的方程形成的方程组：$\left\{\begin{array}{l}{a+b=1}\\{2am+2b{x}_{0}=-16}\\{a{m}^{2}+b{{x}_{0}}^{2}+3=13}\\{b{m}^{2}-2bm{x}_{0}+b{{x}_{0}}^{2}=27}\end{array}\right.$，解出该方程组即可得到m值；
（2）根据上面的方程组，求出m之后，便可求出b，x₀的值，从而得出g（x）的解析式．

解答 解：（1）根据已知条件：设f（x）=a（x-m）²+5，g（x）=$b（x-{x}_{0}）^{2}-2$；
∴f（x）+g（x）=（a+b）x²-2（am+bx₀）x$+a{m}^{2}+b{{x}_{0}}^{2}+3$；
又f（x）+g（x）=x²+16x+13，且g（m）=25；
∴得到$\left\{\begin{array}{l}{a+b=1}\\{2am+2b{x}_{0}=-16}\\{a{m}^{2}+b{{x}_{0}}^{2}+3=13}\\{b{m}^{2}-2bm{x}_{0}+b{{x}_{0}}^{2}=27}\end{array}\right.$；
∴解得m=1或-17（舍去），∴b=3，a=-2，x₀=-2；
（2）根据上面求得的b，x₀值，带入g（x）便得到：g（x）=3（x+2）²-2．

点评 考查二次函数的对称轴，二次函数的最大或最小值，能设出二次函数的配方形式，待定系数法求函数解析式．