Question

6．判断下列函数的奇偶性，若为奇（偶）函数给出证明：
（1）f（x）=$\frac{（x-1）\sqrt{1+x}}{1-x}$；
（2）f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-1}$+$\sqrt{1-{x}^{2}}$；
（3）f（x）=3|x|，x∈R；
（4）f（x）=$\frac{3x}{{x}^{2}-3}$．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的定义进行判断即可．

解答 解：（1）要使函数有意义，则$\left\{\begin{array}{l}{1+x≥0}\\{1-x≠0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x≥-1}\\{x≠1}\end{array}\right.$，即x≥-1且x≠1，函数的定义域关于原点不对称，故f（x）=$\frac{（x-1）\sqrt{1+x}}{1-x}$为非奇非偶函数；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{x^2-1≥0}\\{1-x^2≥0}\end{array}\right.$，则$\left\{\begin{array}{l}{x^2≥1}\\{x^2≤1}\end{array}\right.$，即x²=1，
即x=1或x=-1，即函数的定义域为{1，-1}，
此时f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-1}$+$\sqrt{1-{x}^{2}}$=0，则f（x）既是奇函数也是偶函数．
（3）∵f（-x）=3|-x|=3|x|=f（x），
∴f（x）为偶函数．
（4）由x²-3≠0得x≠±$\sqrt{3}$，即定义域为{$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$}，
∵f（-x）=$\frac{-3x}{{x}^{2}-3}$=-$\frac{3x}{{x}^{2}-3}$=-f（x）．
∴f（x）为奇函数．

点评 本题主要考查函数奇偶性的判断，注意要先判断定义域是否关于原点对称．