Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求函数在上的最小值；

（2）若，不等式恒成立，求的取值范围；

（3）若，不等式恒成立，求的取值范围

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】试题分析：（1）a=0时， ， ，由此利用导数性质能求出函数f（x）在上的最小值．（2）函数f（x）在区间（0，x0）上递减，在（x0，+∞）上递增，由x＞0，不等式f（x）≥1恒成立，得lnx0+2x02e2x0≤0，由此能求出a的取值范围．（3）由，得对任意成立，令函数，∴由此利用导数研究单调性能求出a的取值范围．

试题解析：

解（1）时，

∴， ，

∴函数在上是增函数，

又函数的值域为，

故，使得，

又∵，∴，∴当时，span> ，

即函数在区间上递增，∴.

（2），

由（1）知函数在上是增函数，且，使得，

进而函数在区间上递减，在上递增，

，

由，得： ，

∴，∴，

∵，不等式恒成立，

∴，∴，

设，则为增函数，且有唯一零点，设为，

则，则，即，

令，则单调递增，且，

则，即，∵在为增函数，

则当时， 有最大值， ，

∴，∴的取值范围是.

（3）由，得，

∴，∴对任意成立，

令函数，∴

当时， ，当时， ，

∴当时，函数取得最小值

∴，∴的取值范围是.