Question

【题目】如图，在三棱锥中， 是正三角形，面面， ， ， 和的重心分别为， .

（1）证明： 面；

（2）求与面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2) .

【解析】试题分析：（1）取中点，连结，由重心性质可得， ，推导出出，即可证明面；（2）以中点为原点，建立空间直角坐标系，由及，推导出及，再根据条件写出， ， ，然后求出面的一个法向量，即可求出与面所成角的正弦值.

试题解析：（1）证明：取中点，连结，由重心性质可知， 分别在， 上且， ，所以在中有，

所以，又平面， 平面，

所以平面.

（2）解：以中点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

∵，

∴

∴，

又由条件， ， ，

∴， ， .

设面的法向量为，则

取，则∴，

∴，即所求角的正弦值为.