Question

【题目】已知函数．

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间和极值；

（Ⅱ）求证：当时，关于的不等式在区间上无解．（其中）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函数的单调递增区间为，, 的单调递减区间为．在处取得极大值，在处取得极小值．

（Ⅱ）见解析．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求出导函数，解方程，列出表格，确定的符号及的单调性，从而得出极大值和极小值；（Ⅱ）问题实质上就是证明在上的最大值小于或等于1．因此本小题实质就如第（Ⅰ）小题一样，求在上的最大值即可（要注意函数在闭区间上的最值可能在区间端点处取得）．

试题解析：（Ⅰ）

因为,

所以，

当时，．

令，得，

所以随的变化情况如下表：

		极大值		极小值

所以在处取得极大值，

在处取得极小值．

函数的单调递增区间为，, 的单调递减区间为．

（Ⅱ）证明：

不等式在区间上无解，等价于在区间上恒成立，

即函数在区间上的最大值小于等于1．

因为，

令，得．

因为时，所以．

当时，对成立，函数在区间上单调递减，

所以函数在区间上的最大值为,

所以不等式在区间上无解；

当时，随的变化情况如下表：

	↘	极小值	↗

所以函数在区间上的最大值为或．

此时,，

所以 ．

综上，当时，关于的不等式在区间上无解．