Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为、，定点A(－2,0)，B(2,0)．

(1) 若椭圆C上存在点T，使得，求椭圆C的离心率的取值范围；

(2) 已知点在椭圆C上．

①求椭圆C的方程；

②记M为椭圆C上的动点，直线AM，BM分别与椭圆C交于另一点P，Q，若， ．求λ＋μ的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②6

【解析】试题分析：（1）先求出动点的轨迹方程，设出椭圆方程，与的轨迹方程联立求出 ，根据椭圆横坐标的有界性求出 的范围，离心率表示为 的函数，求出函数的值域即可得结果；（2）①根据点在椭圆C上，结合（1）的结论可得椭圆方程，②设出点 ，根据， 分别求出 用表示， 列方程化简即可得结果.

试题解析：(1)设点T(x，y)，由＝，得(x＋2)2＋y2＝2[(x＋1)2＋y2]，即x2＋y2＝2.

由得y2＝m2－m，（其中：m=）

因此0≤m2－m≤m，解得1≤m≤2，所以椭圆的离心率e＝∈.

(2) ①椭圆C的方程为．

②设M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

得从而

因为＋y＝1，所以＋(λy1)2＝1，

即λ2＋2λ(λ－1)x1＋2(λ－1)2－1＝0.

因为＋y＝1，代入得2λ(λ－1)x1＋3λ2－4λ＋1＝0.

由题意知，λ≠1，故x1＝－，所以x0＝，同理可得x0＝.

因此＝，所以λ＋μ＝6为定值．