Question

【题目】如图，在直角梯形中， ， ， ．直角梯形可以通过直角梯形以直线为轴旋转得到，且平面平面．

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（I）求证： ．

（II）求直线和平面所成角的正弦值．

（III）设为的中点， ， 分别为线段， 上的点（都不与点重合）．若直线平面，求的长．

Answer 1

【答案】（I）见解析；（II）；（III）.

【解析】试题分析：（I）由面面垂直定理得面，由线面垂直定理即可得出.

（II）以A为原点建立空间直角坐标系，设平面的一个法向量为，令， ，即可求出直线和平面所成角的正弦值．

（III）设，由，表示， ，

由，，求得，，即可求出MH的长.

试题解析：（I）∵，

∴，

∵平面平面且平面平面，

∴面，

∵平面，

∴．

（II）由（I）知， 平面，

∴， ，

∵，

， ， 两两垂直，

如图，以为原点建立空间直角坐标系，

∵，

，

，

，

，

，

．

设平面的一个法向量为，

∴，

∴，

令， ，

设直线与平面所成角为，

∵，

，

．

（III）在以为原点的空间直角坐标系中，

， ，

， ，

．

设，

，

∵，

∴，

，

，

若平面，

则，即，

，解得，

∴，

．

点睛:高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.