Question

16．已知点C（x₀，y₀）是椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1上的动点，以C为圆心的圆过点F（1，0）．
（Ⅰ）若圆C与y轴相切，求实数x₀的值；
（Ⅱ）若圆C与y轴交于A，B两点，求|FA|•|FB|的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当圆C与y轴相切时，|x₀|=$\sqrt{（{x}_{0}-1）^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$，再由点C在椭圆上，得$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}+{{y}_{0}}^{2}=1$，由此能求出实数x₀的值．
（Ⅱ）圆C的方程是（x-x₀）²+（y-y₀）²=（x₀-1）²+${{y}_{0}}^{2}$，令x=0，得y²-2y₀y+2x₀-1=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出|FA|•|FB|的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）当圆C与y轴相切时，|x₀|=$\sqrt{（{x}_{0}-1）^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$，（2分）
又因为点C在椭圆上，所以$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}+{{y}_{0}}^{2}=1$，（3分）
解得${x}_{0}=-2±2\sqrt{2}$，（5分）
因为-$\sqrt{2}≤{x}_{0}≤\sqrt{2}$，所以${x}_{0}=-2+2\sqrt{2}$．（6分）
（Ⅱ）圆C的方程是（x-x₀）²+（y-y₀）²=（x₀-1）²+${{y}_{0}}^{2}$，
令x=0，得y²-2y₀y+2x₀-1=0，
设A（0，y₁），B（0，y₂），则y₁+y₂=2y₀，y₁y₂=2x₀-1，（8分）
由$△=4{{y}_{0}}^{2}-4（2{x}_{0}-1）＞0$，及${{y}_{0}}^{2}=1-\frac{1}{2}{{x}_{0}}^{2}$得-2-2$\sqrt{2}$＜x₀＜-2+2$\sqrt{2}$，
又由P点在椭圆上，-$\sqrt{2}$≤x₀≤$\sqrt{2}$，所以-$\sqrt{2}$≤${x}_{0}＜-2+2\sqrt{2}$，（10分）
|FA|•|FB|=$\sqrt{{{y}_{1}}^{2}+1}$•$\sqrt{{{y}_{2}}^{2}+1}$=$\sqrt{（{y}_{1}{y}_{2}）^{2}+（{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}）+1}$（12分）
=$\sqrt{（2{x}_{0}-1）^{2}+4{y}_{0}{\;}^{2}-2（2{x}_{0}-1）+1}$
=$\sqrt{2{{x}_{0}}^{2}-8{x}_{0}+8}$
=$\sqrt{2}（2-{x}_{0}）$，（14分）
所以|FA|•|FB|的取值范围是（4$\sqrt{2}-4$，2$\sqrt{2}$+2]．（15分）

点评 本题考查实数值的求法，考查两线段乘积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、圆、椭圆性质的合理运用．