Question

14．关于函数f（x）=lg$\frac{{x}^{2}+1}{|x|}$有下列说法：
（1）函数y=f（x）的图象关于y轴对称；
（2）函数f（x）的最小值是lg2；
（3）当x＞0时，f（x）是增函数，当x＜0时，f（x）是减函数；
（4）f（x）在区间[-1，0），[1，+∞）上是增函数；
（5）f（x）无最大值，也无最小值．
其中正确的命题序号是（1），（2），（4）．

Answer 1

分析 根据已知中函数的解析式，求出函数的奇偶性，单调性及最值，进而可得答案．

解答 解：∵函数f（x）=lg$\frac{{x}^{2}+1}{|x|}$（x≠0），
f（-x）=lg$\frac{{x}^{2}+1}{|x|}$=f（x），
故函数为偶函数，其图象关于y轴对称；故（1）正确；
当x=±1时，函数取最小值lg2，无最大值，故（2）正确，（5）错误；
当x＞0时，f（x）=lg $\frac{{x}^{2}+1}{x}$，在（0，1]上为减函数，在[1，+∞）上是增函数；
当x＜0时，f（x）=lg $\frac{{x}^{2}+1}{-x}$，在（-∞，-1]上为减函数，在[-1，0）上是增函数；
故（3）错误，（4）正确；
故答案为：（1），（2），（4）．

点评 本题是函数图象和性质的综合应用，分析出函数的奇偶性，单调性及最值，是解答的关键．