Question

14．已知a=${∫}_{0}^{2}$（$\frac{2}{5}$x²-$\frac{x}{5}$）dx，则（$\frac{3}{2}$ax-$\frac{2}{\sqrt{x}}$）¹⁰的展开式中有理项共有6项．

Answer 1

分析 求定积分可得a的值，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数为整数，求出r的值，即可得出结论．

解答 解：a=${∫}_{0}^{2}$（$\frac{2}{5}$x²-$\frac{x}{5}$）dx=（ $\frac{2}{15}$x³-$\frac{1}{10}$x²） ${|}_{0}^{2}$=$\frac{2}{3}$，
∴（$\frac{3}{2}$ax-$\frac{2}{\sqrt{x}}$）¹⁰ =（x-$\frac{2}{\sqrt{x}}$）¹⁰，
∴（x-$\frac{2}{\sqrt{x}}$）¹⁰的展开式的通项公式为T_r+1=${C}_{10}^{r}$•（-2）^r•${x}^{10-\frac{3r}{2}}$．
再根据10-$\frac{3r}{2}$为整数，可得r=0，2，4，6，8，10，共计6项，
故答案为：6．

点评 本题主要考查求定积分，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．