【题目】已知椭圆:
(
)的两个焦点为
,
,离心率为
,点
,
在椭圆上,
在线段
上,且
的周长等于
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过圆:
上任意一点
作椭圆
的两条切线
和
与圆
交于点
,
,求
面积的最大值.
【答案】(1);(2)
取最大值
.
【解析】试题分析:(1)由的周长为
可得
,由离心率
得
,进而的椭圆的标准方程;(2)先根据韦达定理证明两切斜线斜率积为
,进而得两切线垂直,得线段
为圆
的直径,
,然后根据不等式及圆的几何意义求
的最大值.
试题解析:(1)由的周长为
,得
,
,由离心率
,得
,
.所以椭圆的标准方程为:
.
(2)设,则
.
(ⅰ)若两切线中有一条切线的斜率不存在,则,
,另一切线的斜率为0,从而
.此时,
.
(ⅱ)若切线的斜率均存在,则,设过点
的椭圆的切线方程为
,
代入椭圆方程,消并整理得:
.
依题意,
.
设切线,
的斜率分别为
,
,从而
,即
.
线段为圆
的直径,
.
所以,
当且仅当时,
取最大值4.由(ⅰ)(ⅱ)可得:
最大值是4.
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【题目】某中学从高三男生中随机抽取100名学生,将他们的身高数据进行整理,得到下侧的频率分布表
(Ⅰ)求出频率分布表中①和②位置上相应的数据;
(Ⅱ)为了能对学生的体能做进一步了解,该校决定在第3,4,5 组中用分层抽样的方法抽取6 名学生进行体能测试,求第3,4,5 组每组各应抽取多少名学生进行测试;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下,学校决定在6 名学生中随机抽取2 名学生进行引体向上测试,求第4 组中至少有一名学生被抽中的概率.
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【题目】7人站成一排.(写出必要的过程,结果用数字作答)
(1)甲、乙两人相邻的排法有多少种?
(2)甲、乙两人不相邻的排法有多少种?
(3)甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种?
(4)甲、乙、丙三人至多两人不相邻的排法有多少种?
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【题目】某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:,
,…,
,并整理得到如下频率分布直方图:
(1)从总体的400名学生中随机抽取一人,估计其分数小于70的概率;
(2)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间内的人数;
(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等,试估计总体中男生和女生人数的比例.
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【题目】长时间用手机上网严重影响着学生的身体健康,某校为了解两班学生手机上网的时长,分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查,将他们平均每周手机上网的时长作为样本,绘制成茎叶图如图所示(图中茎叶表示十位数字,叶表示个位数字).
(1)分别求出图中所给两组样本数据的平均值,并据此估计,哪个班的学生平均上网时间较长;
(2)从班的样本数据中随机抽取一个不超过19的数据记为
,从
班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为
,求
的概率.
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【题目】已知曲线
(1)若,过点
的直线
交曲线
于
两点,且
,求直线
的方程;
(2)若曲线表示圆时,已知圆
与圆
交于
两点,若弦
所在的直线方程为
,
为圆
的直径,且圆
过原点,求实数
的值.
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【题目】已知函数,
.
(1)若函数有且只有一个极值点,求实数
的取值范围;
(2)对于函数,
,
,若对于区间
上的任意一个
,都有
,则称函数
是函数
,
在区间
上的一个“分界函数”.已知
,
,问是否存在实数
,使得函数
是函数
,
在区间
上的一个“分界函数”?若存在,求实数
的取值范围;若不存在,说明理由.
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