【题目】如图,在三棱柱中,
为
的重心,
.
(1)求证:平面
;
(2)若侧面底面
,
,
,求直线
与平面
所成角
的正弦值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
试题分析:(1) 连接,并延长
,交
于点
,过
作
,交
于点
,分别连接
,只要证明所以平面
平面
,由面面平行的性质可证
平面
;(2)由题意先证明侧面
底面
,由面面垂直的性质可证
平面
,所以可以
为原点,分别以
为
轴,
轴,
轴建立空间直角坐标系,求出平面
的法向量以及直线
的方向向量,由空间向量夹角公式求之即可.
试题解析: (1)证明:连接,并延长
,交
于点
,过
作
,交
于点
,分别连接
.
因为是
的重心,所以
.………………1分
又,所以
.
又据三棱柱性质知
,
所以.………………2分
又因为平面
,
平面
,
所以平面
.
又因为,
平面
,
所以平面平面
.………………3分
又因为平面
,
所以平面
.………………4分
(2)连接.
因为,
,
,
所以,
所以,所以
.
因为侧面底面
,侧面
底面
,
平面
,
所以平面
.
因为,
,所以
是等边三角形,
所以.………………6分
以为原点,分别以
为
轴,
轴,
轴建立空间直角坐标系,
则,
,
,
,
,
所以,
,
,
,
所以.………………8分
设平面的一个法向量为
,则
所以
令得
,………………10分
所以.
所以.即直线
与平面
所成角
的正弦值为
.……………12分
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【题目】已知数列,
,其前
项和
满足
,其中
.
(1)设,证明:数列
是等差数列;
(2)设,
为数列
的前
项和,求证:
;
(3)设(
为非零整数,
),试确定
的值,使得对任意
,都有
成立.
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【题目】“开门大吉”是某电视台推出的游戏益智节目.选手面对号
扇大门,依次按响门上的门铃,门铃会播放一段音乐(将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎),选手需正确回答出这首歌的名字,方可获得该扇门对应的家庭梦想基金.正确回答每一扇门后,选手可自由选择带着奖金离开比赛,还可继续挑战后面的门以获得更多奖金.(奖金金额累加)但是一旦回答错误,奖金将清零,选手也会离开比赛.在一次场外调查中,发现参加比赛的选手多数分为两个年龄段:
;
(单位:岁),其猜对歌曲名称与否人数如图所示.
(1)写出列联表:判断是否有
的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关?
说明你的理由.(下面的临界值表供参考)
(2)若某选手能正确回答第一、二、三、四扇门的概率分别为,
,
,
,正确回答一个问题后,选择继续回答下一个问题的概率是
,且各个问题回答正确与否互不影响.设该选手所获梦想基金总数为
,求
的分布列及数学期望.
(参考公式其中
)
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【题目】已知椭圆:
(
)的两个焦点为
,
,离心率为
,点
,
在椭圆上,
在线段
上,且
的周长等于
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过圆:
上任意一点
作椭圆
的两条切线
和
与圆
交于点
,
,求
面积的最大值.
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【题目】我国古代数学名著《续古摘奇算法》(杨辉)一书中有关于三阶幻方的问题:将1,2,3,4,5,6,7,8,9分别填入的方格中,使得每一行,每一列及对角线上的三个数的和都相等,我们规定:只要两个幻方的对应位置(如每行第一列的方格)中的数字不全相同,就称为不同的幻方,那么所有不同的三阶幻方的个数是( )
8 | 3 | 4 |
1 | 5 | 9 |
6 | 7 | 2 |
A. 9 B. 8 C. 6 D. 4
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【题目】已知抛物线,
是焦点,直线
是经过点
的任意直线.
(Ⅰ)若直线与抛物线交于
、
两点,且
(
是坐标原点,
是垂足),求动点
的轨迹方程;
(Ⅱ)若、
两点在抛物线
上,且满足
,求证:直线
必过定点,并求出定点的坐标.
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【题目】(本小题满分为14分)已知定义域为R的函数是奇函数.
(1)求a,b的值;
(2)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围.
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【题目】已知函数(
为实数).
(1)当时,求函数
的图象在点
处的切线方程;
(2)设函数(其中
为常数),若函数
在区间
上不存在极值,且存在
满
足,求
的取值范围;
(3)已知,求证:
.
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