【题目】已知函数(
).
(1)若函数有零点,求实数
的取值范围;
(2)若对任意的,都有
,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】试题分析:(1)令f(x)=0,变形为,有两种解题思种,一是换元令
,则
,变形为关于
的方程
有正根,分
,
,
讨论。二是分离参数
,只需求右边的值域即可。(2)变形为
,
,恒成立。当
,
,即
,
。
试题解析:(1)由函数有零点得:关于
的方程
(
)有解
令,则
于是有,关于的方程
有正根
设,则函数
的图象恒过点
且对称轴为
当时,
的图象开口向下,故
恰有一正数解
当时,
,不合题意
当时,
的图象开口向上,故
有正数解的条件是
解得:
综上可知,实数的取值范围为
.
(2)由“当时,都有
”得:
,
②
∵,故②变形为:
当时,不等式②简化为
,此时实数
当时,有
∴
∴,
∵当时,
,
当且仅当时取等号
∴
综上可知,实数的取值范围
.
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【题目】下列正确命题有__________.
①“”是“
”的充分不必要条件
②如果命题“”为假命题,则
中至多有一个为真命题
③设,若
,则
的最小值为
④函数在
上存在
,使
,则a的取值范围
或
.
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【题目】为了研究某种微生物的生长规律,需要了解环境温度(
)对该微生物的活性指标
的影响,某实验小组设计了一组实验,并得到如表的实验数据:
环境温度 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
活性指标 |
(Ⅰ)由表中数据判断关于
的关系较符合
还是
,并求
关于
的回归方程(
,
取整数);
(Ⅱ)根据(Ⅰ)中的结果分析:若要求该种微生物的活性指标不能低于,则环境温度应不得高于多少
?
附:,
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【题目】已知椭圆:
(
)的两个焦点为
,
,离心率为
,点
,
在椭圆上,
在线段
上,且
的周长等于
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过圆:
上任意一点
作椭圆
的两条切线
和
与圆
交于点
,
,求
面积的最大值.
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【题目】已知抛物线,
是焦点,直线
是经过点
的任意直线.
(Ⅰ)若直线与抛物线交于
、
两点,且
(
是坐标原点,
是垂足),求动点
的轨迹方程;
(Ⅱ)若、
两点在抛物线
上,且满足
,求证:直线
必过定点,并求出定点的坐标.
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【题目】我国古代数学名著《续古摘奇算法》(杨辉)一书中有关于三阶幻方的问题:将1,2,3,4,5,6,7,8,9分别填入的方格中,使得每一行,每一列及对角线上的三个数的和都相等,我们规定:只要两个幻方的对应位置(如每行第一列的方格)中的数字不全相同,就称为不同的幻方,那么所有不同的三阶幻方的个数是( )
8 | 3 | 4 |
1 | 5 | 9 |
6 | 7 | 2 |
A. 9 B. 8 C. 6 D. 4
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【题目】如图,在四棱锥中平面
,且
,
.
(1)求证:;
(2)在线段上,是否存在一点
,使得二面角
的大小为45°,如果存在,求
与平面
所成角的正弦值,如果不存在,请说明理由.
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【题目】如图所示, 是某海湾旅游区的一角,为营造更加优美的旅游环境,旅游区管委会决定建立面积为
平分千米的三角形主题游戏乐园
,并在区域
建立水上餐厅.
已知,
.
(1)设,
,用
表示
,并求
的最小值;
(2)设(
为锐角),当
最小时,用
表示区域
的面积
,并求
的最小值.
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