【题目】如图,在四棱锥中平面
,且
,
.
(1)求证:;
(2)在线段上,是否存在一点
,使得二面角
的大小为45°,如果存在,求
与平面
所成角的正弦值,如果不存在,请说明理由.
【答案】(1)详见解析(2)是线段
的中点,
【解析】
试题分析:(1)证明线线垂直,一般利用线面垂直性质定理,即从线面垂直出发给予证明,而线面垂直的证明,需要利用线面垂直判定定理:先根据平几知识寻找线线垂直,如由等腰三角形性质得,又由条件
平面
,得线线垂直:
,这样就转化为线面垂直
平面
,即得
(2)研究二面角大小,一般利用空间向量比较直接:先根据题意建立恰当的直角坐标系,设立各点坐标,利用方程组求各面法向量,根据向量数量积求两法向量夹角,最后根据二面角与法向量夹角关系列方程组,解出
点坐标,确定
点位置,再利用线面角与向量夹角互余关系求
与平面
所成角的正弦值
试题解析:
(1)证明:
如图,由已知得四边形是直角梯形,
由已知,
可得是等腰直角三角形,即
,
又平面
,则
,所以
平面
,所以
..............4分
(2)存在. 法一:(猜证法)
观察图形特点,点可能是线段
的中点,
下面证明当是线段
的中点时,二面角
的大小为45°...................5分
过点作
于
,则
,则
平面
.
过点作
于
,连接
,
则是二面角
的平面角,
因为是线段
的中点,则
,在四边形
求得
,则
.
在三棱锥中,可得
,设点
到平面
的距离是
,
,
则,解得
在中,可得
,
设与平面
所成的角为
,则
.
法二:(作图法)
过点作
于
,则
,则
平面
,
过点作
于
,连接
,则
是二面角
的平面角.
若,则
,又
,易求得
,
即是线段
的中点...
(以下同解法一)
法三:(向量计算法)
建立如图所示空间直角坐标系,
则.
设,则
的坐标为
.........................6分
设是平面
的一个法向量,则
,得
,则可取
.................8分
又是平面
的一个法向量,
所以,
此时平面的一个法向量可取
,
与平面
所成的角为
,则
..............12分
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【题目】已知椭圆的离心率为
,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线与椭圆
相交于
两点且
.求证:
的面积为定值.
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【题目】已知点是椭圆
上任一点,点
到直线
的距离为
,到点
的距离为
,且
.直线
与椭圆
交于不同两点
(
都在
轴上方),且
.
(1)求椭圆的方程;
(2)当为椭圆与
轴正半轴的交点时,求直线
方程;
(3)对于动直线,是否存在一个定点,无论
如何变化,直线
总经过此定点?若存在,求出该定点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知曲线
(1)若,过点
的直线
交曲线
于
两点,且
,求直线
的方程;
(2)若曲线表示圆时,已知圆
与圆
交于
两点,若弦
所在的直线方程为
,
为圆
的直径,且圆
过原点,求实数
的值.
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【题目】A,B两城相距100 km,在两地之间距A城x km处的D地建一核电站给A,B两城供电.为保证城市安全,核电站与城市距离不得少于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比,比例系数λ=0.25.若A城供电量为20亿度/月,B城为10亿度/月.
(1)求x的取值范围;
(2)把月供电总费用y表示成x的函数;
(3)核电站建在距A城多远,才能使供电费用最小?
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【题目】【选修4-4:坐标系与参数方程】
已知圆的极坐标方程为
,直线
的参数方程为
(
为参数).若直线
与圆
相交于不同的两点
.
(1)写出圆的直角坐标方程,并求圆心的坐标与半径;
(2)若弦长,求直线
的斜率.
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【题目】长为的线段
的两个端点
和
分别在
轴和
轴上滑动.
(1)求线段的中点的轨迹
的方程;
(2)当时,曲线
与
轴交于
两点,点
在线段
上,过
作
轴的垂线交曲线
于不同的两点
,点
在线段
上,满足
与
的斜率之积为-2,试求
与
的面积之比.
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