【题目】已知函数,
.
(1)若函数有且只有一个极值点,求实数
的取值范围;
(2)对于函数,
,
,若对于区间
上的任意一个
,都有
,则称函数
是函数
,
在区间
上的一个“分界函数”.已知
,
,问是否存在实数
,使得函数
是函数
,
在区间
上的一个“分界函数”?若存在,求实数
的取值范围;若不存在,说明理由.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】
试题分析:(Ⅰ)先求函数导数:,再根据函数
有且只有一个极值点,得
在区间
上有且只有一个零点,最后结合二次函数实根分布得
,解得实数
的取值范围是
;(Ⅱ)由题意得当
时,
恒成立,
且恒成立,即问题为恒成立问题,解决方法为转化为对应函数最值问题:记
,利用导数研究其单调变化规律,确定其最大值:当
时,
单调递减,
最大值为
,由
,解得
;当
时,
最大值为正无穷大,即
在区间
上不恒成立,同理记
,利用导数研究其单调变化规律,确定其最小值:由于
,所以
在区间
上单调递增,其最小值为
,得
.
试题解析:(1),
记,
依题意,在区间
上有且只有一个零点,
∴,得实数
的取值范围是
;………………………………5分
(Ⅱ)若函数是函数
,
在区间
上的一个“分界函数”,
则当时,
恒成立,
且恒成立,…………………………………………6分
记,
则,
若,即
:
当时,
,
单调递减,且
,
∴,解得
;…………………………………………8分
若,即
:
的图象是开口向上的抛物线,
存在,使得
,
从而,
在区间
上不会恒成立,…………………10分
记,
则,
∴在区间
上单调递增,
由恒成立,得
,得
.
综上,当时,函数
是函数
,
在区间
上的一个“分界函数”. 13分
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【题目】已知椭圆:
(
)的两个焦点为
,
,离心率为
,点
,
在椭圆上,
在线段
上,且
的周长等于
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过圆:
上任意一点
作椭圆
的两条切线
和
与圆
交于点
,
,求
面积的最大值.
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【题目】(本小题满分为14分)已知定义域为R的函数是奇函数.
(1)求a,b的值;
(2)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围.
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【题目】某冷饮店只出售一种饮品,该饮品每一杯的成本价为3元,售价为8元,每天售出的第20杯及之后的饮品半价出售.该店统计了近10天的饮品销量,如图所示:设为每天饮品的销量,
为该店每天的利润.
(1)求关于
的表达式;
(2)从日利润不少于96元的几天里任选2天,求选出的这2天日利润都是97元的概率.
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【题目】已知点,椭圆
的离心率为
,
是椭圆的右焦点,直线
的斜率为
,
为坐标原点.
(I)求的方程;
(II)设过点的动直线
与
相交于
两点,当
的面积最大时,求
的方程
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【题目】如图所示, 是某海湾旅游区的一角,为营造更加优美的旅游环境,旅游区管委会决定建立面积为
平分千米的三角形主题游戏乐园
,并在区域
建立水上餐厅.
已知,
.
(1)设,
,用
表示
,并求
的最小值;
(2)设(
为锐角),当
最小时,用
表示区域
的面积
,并求
的最小值.
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【题目】已知函数(
为实数).
(1)当时,求函数
的图象在点
处的切线方程;
(2)设函数(其中
为常数),若函数
在区间
上不存在极值,且存在
满
足,求
的取值范围;
(3)已知,求证:
.
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【题目】已知动圆与圆
:
,圆
都相内切,即圆心
的轨迹为曲线
;设
为曲线
上的一个不在
轴上的动点,
为坐标原点,过点
作
的平行线交曲线
于
,
两个不同的点.
(1)求曲线的方程;
(2)试探究和
的比值能否为一个常数?若能,求出这个常数;若不能,请说明理由.
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