Question

18．已知|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=1，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，求向量$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的夹角的余弦值．

Answer 1

分析 根据向量的数量积公式和向量的夹角公式计算即可．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=1，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|•cos60°=2×1×$\frac{1}{2}$=1，
∴（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=|$\overrightarrow{a}$|²-2|$\overrightarrow{b}$|²+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=4-2+1=3，
∴（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）²=|$\overrightarrow{a}$|²+4|$\overrightarrow{b}$|²+4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=4+4+4=12，（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）²=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow{b}$|²-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=4+1-2=3，
∴|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$|=2$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$，
设向量$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，
∴cosθ=$\frac{（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|•|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}$=$\frac{3}{2\sqrt{3}×\sqrt{3}}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了向量的数量积公式和向量的夹角公式，属于基础题．