Question

12．直线l过抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F，与抛物线C交于A、B两点，与其准线交于点D，若|AF|=6，$\overrightarrow{DB}=2\overrightarrow{BF}$，则p=3．

Answer 1

分析 过A，B，F向准线作垂线，利用抛物线的定义得出直线AB的斜率，计算|AD|可得F为AD的中点，利用中位线定理得出p的值．

解答 解：过A，B，F作准线的垂线，垂足分别为A′，B′，F′，
则|AA′|=|AF|=6，|BB′|=|BF|，|FF′|=p．
∵$\overrightarrow{DB}=2\overrightarrow{BF}$，∴|DB|=2|BF|=2|BB′|，
∴直线l的斜率为$\sqrt{3}$，
∴|AD|=2|AA′|=12，∴F是AD的中点．
∴|FF′|=$\frac{1}{2}$|AA′|=3，即p=3．
故答案为：3．

点评 本题考查了抛物线的定义与性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．