Question

4．已知$\overrightarrow{e}$₁，$\overrightarrow{e}$₂为平面上的单位向量，$\overrightarrow{e}$₁与$\overrightarrow{e}$₂的起点均为坐标原点O，$\overrightarrow{e}$₁与$\overrightarrow{e}$₂夹角为$\frac{π}{3}$．平面区域D由所有满足$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{e}$₁+μ$\overrightarrow{e}$₂的点P组成，其中$\left\{{\begin{array}{l}{λ+μ≤1}\\{0≤λ}\\{0≤μ}\end{array}}\right.$，那么平面区域D的面积为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{4}$

Answer 1

分析 以O为原点，以$\overrightarrow{{e}_{1}}$方向为x轴正方向，建立坐标系xOy，写出$\overrightarrow{{e}_{1}}$、$\overrightarrow{{e}_{2}}$的坐标，根据$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{{e}_{1}}$+μ$\overrightarrow{{e}_{2}}$写出$\overrightarrow{OP}$的坐标表示，利用向量相等列出方程组，求出点P的坐标满足的约束条件，画出对应的平面区域，计算平面区域的面积即可．

解答 解：以O为原点，以$\overrightarrow{{e}_{1}}$方向为x轴正方向，建立坐标系xOy，
则$\overrightarrow{{e}_{1}}$=（1，0），$\overrightarrow{{e}_{2}}$=（cos$\frac{π}{3}$，sin$\frac{π}{3}$）=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
又$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{{e}_{1}}$+μ$\overrightarrow{{e}_{2}}$=（λ+$\frac{1}{2}$μ，$\frac{\sqrt{3}}{2}$μ），其中λ≥0，μ≥0，λ+μ≤1；
设$\overrightarrow{OP}$=（x，y），
则（x，y）=（λ+$\frac{1}{2}$μ，$\frac{\sqrt{3}}{2}$μ），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=λ+\frac{1}{2}μ}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}μ}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{λ=x-\frac{\sqrt{3}}{3}y}\\{μ=\frac{2\sqrt{3}}{3}y}\end{array}\right.$；
由于λ≥0，μ≥0，λ+μ≤1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-\frac{\sqrt{3}}{3}y≥0}\\{y≥0}\\{x+\frac{\sqrt{3}}{3}y≤1}\end{array}\right.$，
它表示的平面区域如图所示：

由图知A（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），B（1，0）；
所以阴影部分区域D的面积为S=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
故选：D．

点评 本题考查了线性规划的应用问题，解题的关键是根据约束条件正确地画出平面区域，然后结合有关面积公式进行计算，是综合性题目．