Question

4．设函数$f（x）=x-\frac{1}{x}$，对?x∈[1，+∞），使不等式f（mx）+mf（x）＜0恒成立的实数m称为函数f（x）的“伴随值”，则实数m的取值范围是m＜-1．

Answer 1

分析 显然m≠0，分当m＞0与当m＜0两种情况进行讨论，并进行变量分离即可得出答案．

解答 解：由f（mx）+mf（x）＜0整理得：2mx＜（m+$\frac{1}{m}$）$\frac{1}{x}$，即2mx²＜m+$\frac{1}{m}$恒成立．
①当m＞0时，2x²＜1+$\frac{1}{{m}^{2}}$，因为y=2x²在x∈[1，+∞）上无最大值，因此此时不合题意；
②当m＜0时，2x²＞1+$\frac{1}{{m}^{2}}$，因为y=2x²在x∈[1，+∞）上的最小值为2，所以1+$\frac{1}{{m}^{2}}$＜2，即m²＞1，解得m＜-1或m＞1（舍去）．
综合可得：m＜-1．
故答案为：m＜-1．

点评 本题主要考查了恒成立问题的基本解法及分类讨论思想，属于难题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解．