Question

9．设a，b，c 均为正数，且a+b+c=1，
证明：（1）ab+bc+ca≤$\frac{1}{3}$；
（2）$\frac{{a}^{2}}{b}$+$\frac{{b}^{2}}{c}$+$\frac{{c}^{2}}{a}$≥1．

Answer 1

分析 （1）a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，c²+a²≥2ca，由累加法，再由三个数的完全平方公式，即可得证；
（2）$\frac{{a}^{2}}{b}$+b≥2a，$\frac{{b}^{2}}{c}$+c≥2b，$\frac{{c}^{2}}{a}$+a≥2c，运用累加法和条件a+b+c=1，即可得证．

解答 证明：（1）由a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，c²+a²≥2ca，
可得a²+b²+c²≥ab+bc+ca，（当且仅当a=b=c取得等号）
由题设可得（a+b+c）²=1，即a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca=1，
即有3（ab+bc+ca）≤1，则ab+bc+ca≤$\frac{1}{3}$；
（2）$\frac{{a}^{2}}{b}$+b≥2a，$\frac{{b}^{2}}{c}$+c≥2b，$\frac{{c}^{2}}{a}$+a≥2c，
故$\frac{{a}^{2}}{b}$+$\frac{{b}^{2}}{c}$+$\frac{{c}^{2}}{a}$+（a+b+c）≥2（a+b+c），
即有$\frac{{a}^{2}}{b}$+$\frac{{b}^{2}}{c}$+$\frac{{c}^{2}}{a}$≥a+b+c．（当且仅当a=b=c取得等号）．
故$\frac{{a}^{2}}{b}$+$\frac{{b}^{2}}{c}$+$\frac{{c}^{2}}{a}$≥1．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式和累加法证明，考查推理能力，属于中档题．