Question

14．在平面直角坐标系xOy，已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点C（3，$\frac{7}{4}$），其左右焦点分别为F₁，F₂，且F₂（3，0），长轴的左右两个端点为A，B．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设点C关于原点的对称点为D．
①若点P在椭圆E上，直线CP和DP的斜率都存在且不为0，试问直线CP和DP的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由；
②若N为直线x=$\frac{16}{3}$上一点（在x轴上方），AN与椭圆交于点M，且$\overrightarrow{AN}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=0，记$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{MN}$，求λ．

Answer 1

分析 （1）由题意c=3，$\frac{9}{{a}^{2}}+\frac{\frac{49}{16}}{{b}^{2}}$=1，求解a，b，则椭圆的方程可求；
（2）②设出P点的坐标，写出直线CP和DP的斜率，由点P在椭圆上得到P点横纵坐标的关系式，代入斜率乘积的表达式整理可得直线CP和DP的斜率之积为定值
（2）②由$\overrightarrow{AN}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=0，可得（x+4）（3-x）-y²；=0，即y²=-x²-x+12，利用M满足$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{7}=1$，求出M的横坐标，根据$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{MN}$，可得$\frac{20}{9}$+4=λ（$\frac{16}{3}$-$\frac{20}{9}$），即可求出λ．

解答 解：（1）由题意c=3，$\frac{9}{{a}^{2}}+\frac{\frac{49}{16}}{{b}^{2}}$=1，
∴a=4，b=$\sqrt{7}$，
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{7}=1$；
（2）①依题意得D在椭圆E上．
CP和DP的斜率K_CP和K_DP均存在．
设P（x，y），则K_CP=$\frac{y-\frac{7}{4}}{x-3}$，K_DP=$\frac{y+\frac{7}{4}}{x+3}$
∴K_CP•K_DP=$\frac{y-\frac{7}{4}}{x-3}$•$\frac{y+\frac{7}{4}}{x+3}$①
又∵点P在椭圆E上，
∴$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{7}=1$，∴x²=16-$\frac{16}{7}$y²，代入①得，K_CP•K_DP=-$\frac{7}{16}$
∴CP和DP的斜率K_CP和K_DP之积为定值-$\frac{7}{16}$；
②设M（x，y），由$\overrightarrow{AN}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=0，可得（x+4）（3-x）-y²=0，
∴y²=-x²-x+12，
∴M满足$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{7}=1$，
消去y，可得9x²+16x-80=0，
解得x=$\frac{20}{9}$或x=-4（舍去）
∵$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{MN}$，
∴$\frac{20}{9}$+4=λ（$\frac{16}{3}$-$\frac{20}{9}$），
∴λ=2．

点评 本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．