Question

5．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}cx+1（0＜x＜c）\\{2^{-\frac{x}{c^2}}}+1（c≤x＜1）\end{array}\right.$满足$f（{c^2}）=\frac{9}{8}$，则常数c的值是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由已知条件利用分段函数的性质，能求出常数c的值．

解答 解：∵函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}cx+1（0＜x＜c）\\{2^{-\frac{x}{c^2}}}+1（c≤x＜1）\end{array}\right.$满足$f（{c^2}）=\frac{9}{8}$，
∴当0＜c²＜1时，f（c²）=c•c²+1=$\frac{9}{8}$，解得c=$\frac{1}{2}$，成立；
当c≤c²＜1时，f（c²）=${2}^{-\frac{{c}^{2}}{{c}^{2}}}+1$=$\frac{9}{8}$，不成立．
∴c=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查函数式中常数c的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用．