Question

20．在△ABC中，已知A=60°，AB=2，角A的平分线AD=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，则AC=4．

Answer 1

分析 由角平分线的性质求出∠BAD=30°，由余弦定理求出BD，由正弦定理和特殊角的三角函数值求出∠ABD，由直角三角形的余弦函数求出AC的值．

解答 解：如图所示：
∵A=60°，AB=2，角A的平分线AD=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴在△ABD中，∠BAD=30°，由余弦定理得，
BD²=AB²+AD²-2•AB•AD•cos∠BAD
=4+$\frac{16}{3}-2×2×\frac{4\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{4}{3}$，
则BD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
由正弦定理得$\frac{AD}{sin∠ABD}=\frac{BD}{sin∠BAD}$，
则sin∠ABD=$\frac{AD•sin∠BAD}{BD}$=$\frac{\frac{4\sqrt{3}}{3}×\frac{1}{2}}{\frac{2\sqrt{3}}{3}}$=1，∴∠ABD=90°，
在RT△ABC中，AC=$\frac{AB}{cos∠BAC}$=$\frac{2}{\frac{1}{2}}$=4，
故答案为：4．

点评 本题考查正弦定理和余弦定理的综合应用，以及特殊角的三角函数值，属于中档题．