Question

已知向量

a

=（x²-3x，1），

b

=（x，-tx+2），定义f（x）=

a

•

b

，有f（x）单调递减区间是（k，3）．
（Ⅰ）求函数式y=f（x）及k的值；
（Ⅱ）若对?x∈[-2，4]，总有|f（x）-m|≤16（m∈Z），求实数m的值；
（Ⅲ）若过点（-2，n）能作出函数f（x）的三条切线，求实数n的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数解析式的求解及常用方法,函数恒成立问题,函数在某点取得极值的条件,平面向量数量积的运算

专题：导数的综合应用,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）根据数量积的坐标运算容易求出f（x）=x³-3x²-tx+2，并且知道k，3是方程f′（x）=0的两个根，这样即可求出t，n；
（Ⅱ）由于求m的范围，由不等式得到：f（x）-16≤m≤f（x）+16，所以要求f（x）-16的最大值，求f（x）+16的最小值，即求f（x）的最大值和最小值，可以通过求f′（x），判断函数f（x）在[-2，4]的单调性，求出函数f（x）的极值和端点值，从而求出最值；
（Ⅲ）设出切点（t，t³-3t²-9t+2），根据函数在切点处的导数和切线斜率的关系建立关于t和n的方程：2t³-3t²-12t-20-n=0，该方程有三个根，令g（t）=2t³-3t²-12t-20-n，则g（t）有三个零点．这时候，求g′（t），需要极大值大于0，极小值小于0，从而求出n的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=（x²-3x）x-tx+2=x³-3x²-tx+2，f′（x）=3x²-6x-t；
由已知条件知：k，3是方程3x²-6x-t=0的两根；
由根与系数的关系得：

3+k=2 3k=- t 3

解得k=-1，t=9．
∴f（x）=x³-3x²-9x+2，f′（x）=3x²-6x-9．
（Ⅱ）解3x²-6x-9=0得：x=-1或3．
∴x∈[-2，-1）时，f′（x）＞0；x∈（-1，3）时，f′（x）＜0；x∈（3，4]时，f′（x）＞0；
∴f（x）的极大值是f（-1）=7，极小值是f（3）=-25，又f（-2）=0，f（4）=-18；
∴-25≤f（x）≤7；
又-16≤f（x）-m≤16，f（x）-16≤m≤f（x）+16；
∴-9≤m≤-9；
∴m=-9．
（Ⅲ）设切点为（t，t³-3t²-9t+2），f′（t）=3t²-6t-9；
又切线过点（-2，n）；
∴

t3-3t2-9t+2-n

t+2

=3t2-6t-9；
整理得：2t³-3t²-12t-20-n=0；
由题意知该方程有三个零点，令g（t）=2t³-3t²-12t-20-n；
则g′（t）=6t²-6t-12；
∴t∈（-∞，-1）时，g′（t）＞0；t∈（-1，2）时，g′（t）＜0；t∈（2，+∞）时，g′（t）＞0；
∴g（t）的极大值是g（-1）=-13-n，g（t）的极小值是g（2）=-40-n；
则：

-13-n＞0 -40-n＜0

，解得-40＜n＜-13．
∴实数n的取值范围为（-40，-13）．

点评：考查数量积的坐标运算，通过求函数导数，根据导数符号判断函数在给定区间上的单调性，根据极值的概念求出极值，再求出区间的端点值，从而求出函数在给定区间上的最值，函数在切点处的导数与切线斜率的关系，若函数有三个零点，需满足极大值大于0，极小值小于0．