Question

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=

3

4n-1

（n∈N^*），数列{b_n}为等差数列，且b₁=a₁，a₂（b₂-b₁）=a₁，
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=

1

3

a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）利用等比数列的前n项和公式、“错位相减法”即可得出．

解答： 解：（1）∵a_n=

3

4n-1

（n∈N^*），∴a₁=3，a₂=

3

4

．
设等差数列{b_n}的公差为d，
∵b₁=a₁，a₂（b₂-b₁）=a₁，
∴b₁=3，

3

4

d=3，解得d=4．
∴b_n=3+4（n-1）=4n-1．
（2）c_n=

1

3

a_nb_n=

1

3

×

3

4n-1

×(4n-1)=

4n-1

4n-1

．
∴T_n=

3

1

+

7

4

+

11

42

+…+

4n-5

4n-2

+

4n-1

4n-1

，

1

4

Tn=

3

4

+

7

42

+

4n-5

4n-1

+

4n-1

4n

，
两式相减可得：

3

4

Tn=3+1+

1

4

+…+

1

4n-2

-

4n-1

4n

=

4(1- 1 4n )

1- 1 4

-1-

4n-1

4n

=

13

3

-

16

3×4n

-

4n-1

4n

，
∴T_n=

52

9

-

1

9×4n-3

-

4n-1

3×4n-1

．

点评：本题考查了等差数列的通项公式、等比数列的前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．