Question

【题目】已知函数，其中为自然对数的底数.

（1）求证：当时，对任意都有；

（2）若函数有两个极值点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1），令，求导得单调递减， 单调递增， ，即；（2）令，则有两个变号零点，且，通过分类讨论得， .

试题解析：

（1）当时， ，当时， 显然成立；

当时， ；

令， ，则，

可得， ， 减； ， ， 增；

故时， ，

综上，任意都有，得证.

（2）函数定义域为，令，若有两个极值点，则有两个变号零点，且，

当时， 在上恒成立，函数在上单增， 至多有一个零点，此时不存在两个极值点；

当时，令，可得，且，

，即函数在单减，在单增，

若条件成立，则必有 ，此时，

下证： 时，函数有两个零点

由于，故，即在有唯一零点，记为；

易得时， ，且 ，

令，则，由（1）可得大于0恒成立，从而，

即，故在有唯一零点，记为，

从而， ， ； ， ； ，

综上，函数有两个极值点时， .