Question

已知P(x0,y0)是函数f(x)=ln x图象上一点,在点P处的切线l与x轴交于点B,过点P作x轴的垂线,垂足为A.

(1) 求切线l的方程及点B的坐标;

(2) 若x0∈(0,1),求△PAB的面积S的最大值,并求此时x0的取值.(可能用到的公式:'=)

Answer 1

 (1) 因为f'(x)=. ,

所以过点P的切线方程为y-ln x0=(x-x0),

即切线方程为y=x+ln x0-1,

令y=0,得x=x0-x0ln x0,

即点B的坐标为(x0-x0ln x0,0).

(2) AB=x0-x0ln x0-x0=-x0ln x0,

PA=|f(x0)|=-ln x0,

所以S=AB·PA=x0·(ln x0)2,

S'=ln2 x0+x0·2ln x0·

=ln x0(ln x0+2),

由S'>0,得0<x<,所以当x∈时,S单调递增;由S'<0,得<x<1,

所以当x∈时,S单调递减.

所以Smax=S=ln2=.

所以当x0=,面积S的最大值为.