【题目】(本小题满分14分)
设椭圆的离心率为
,其左焦点
与抛物线
的焦点相同.
(1)求此椭圆的方程;
(2)若过此椭圆的右焦点的直线
与曲线
只有一个交点
,则
①求直线的方程;
②椭圆上是否存在点,使得
,若存在,请说明一共有几个点;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)
(2)①或
或
.
②12个
【解析】
试题分析:对于第一问中的椭圆方程,根据抛物线的焦点坐标求出的值,根据离心率的值,得出
的值,从而得出
的值,得到相应的椭圆方程,对于第二问,根据题的条件,设出直线的方程,当直线和抛物线相切时,一种情况,联立式子,对应的二次方程有两个相等实根,判别式等于0,一种是直线和抛物线的对称轴平行即可得结果;根据所求的直线方程,可以得出对应的交点P的坐标,因为F点是已知的,所以三角形的底边FP的长度已经确定,要想面积是所给的值,可以得出点M到此直线的距离,建立相应的等量关系,从而得出点的个数.
试题解析:
解:(1)抛物线的焦点为
,
所以. (1分)
由,得
, (2分)
所以 (3分)
因此,所求椭圆的方程为(*)(4分)
(2)①椭圆的右焦点为,过点
与
轴平行的直线显然与曲线
没有交点.设直线
的斜率为
. (5分)
当时,则直线
过点
且与曲线
只有一个交点
,此时直线
的方程为
; (6分)
当时,因直线
过点
,故可设其方程为
,将其代入
消去
,得
.
因为直线与曲线
只有一个交点
,所以判别式
,于是
,即直线
的方程为
或
. (7分)
因此,所求的直线的方程为
或
或
. (8分)
②由①可求出点的坐标是
或
或
.
当点的坐标为
时,则
.于是
=
,从而
,代入(*)式联立:
或
,求得
,此时满足条件的点
有4个:
. (10分)
当点的坐标为
,则
,点
到直线
:
的距离是
,于是有
,
从而,与(*)式联立:
或
解之,可求出满足条件的点
有4个:
,
,
,
. (12分)
当点的坐标为
,则
,点
到直线
:
的距离是
,于是有
,
从而,与(*)式联立:
或
,
解之,可求出满足条件的点有4个:
,
,
,
. (14分)
综合①②③,以上12个点各不相同且均在该椭圆上,因此,满足条件的点共有12个.图上椭圆上的12个点即为所求.
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【题目】一个学生在一次竞赛中要回答道题是这样产生的:从
道物理题中随机抽取
道;从
道化学题中随机抽取
道;从
道生物题中随机抽取
道.使用合适的方法确定这个学生所要回答的三门学科的题的序号(物理题的编号为
,化学题的编号为
,生物题的编号为
.
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【题目】某公司试销某种“上海世博会”纪念品,每件按30元销售,可获利50%,设每件纪念品的成本为a元.
(1)试求a的值;
(2)公司在试销过程中进行了市场调查,发现销售量y(件)与每件售价x(元)满足关系y=-10x+800.设每天销售利润为W(元),求每天销售利润W(元)与每件售价x(元)之间的函数解析式;当每件售价为多少时,每天获得的利润最大?最大利润是多少?
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【题目】【2014福建,文22】已知函数(
为常数)的图像与
轴交于点
,曲线
在点
处的切线斜率为
.
(1)求的值及函数
的极值;
(2)证明:当时,
(3)证明:对任意给定的正数,总存在
,使得当
时,恒有
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【题目】【2017届云南省云南师范大学附属中学高三高考适应性月考(五)文数】已知函数.
(1)若曲线在点
处的切线斜率为1,求函数
的单调区间;
(2)若时,
恒成立,求实数
的取值范围.
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【题目】已知二次函数(其中
)满足下列3个条件:
①函数的图象过坐标原点;
②函数的对称轴方程为
;
③方程有两个相等的实数根,
令.
(1)求函数的解析式;
(2)求使不等式恒成立的实数
的取值范围;
(3)已知函数在
上的最小值为
,求实数
的值.
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【题目】(本小题满分14分)
已知动点M到点的距离等于M到点
的距离的
倍.
(1)求动点M的轨迹C的方程;
(2)若直线与轨迹C没有交点,求
的取值范围;
(3)已知圆与轨迹C相交于
两点,求
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【题目】已知椭圆经过点
,且离心率为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设是椭圆上的点,直线
与
(
为坐标原点)的斜率之积为
.若动点
满足
,试探究是否存在两个定点
,使得
为定值?若存在,求
的坐标;若不存在,请说明理由.
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