Question

【题目】已知二次函数（其中）满足下列3个条件:

①函数的图象过坐标原点；

②函数的对称轴方程为；

③方程有两个相等的实数根，

令.

（1）求函数的解析式；

（2）求使不等式恒成立的实数的取值范围；

（3）已知函数在上的最小值为，求实数的值.

Answer 1

【答案】（1） ；（2）；（3）.

【解析】试题分析：（1）利用f（0）=0求出c．通过函数的对称轴，得到a=b，通过方程f（x）=x有两个相等的实数根，即可求函数f（x）的表达式；

（2）不等式恒成立,即，即．

（3），讨论对称轴与区间端点的关系，明确函数的最小值，求出实数的值.

试题解析：

解： (1)由题意得，即.

∵函数的对称轴方程为，∴，即.

∴，

∵方程仅有一根，即方程仅有一根，

又

∴ ，即，即．

∴．

(2) 又

又不等式img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2017/12/29/18/b2dfd3c7/SYS201712291823161438430040_DA/SYS201712291823161438430040_DA.026.png" width="68" height="27" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />恒成立

即不等式恒成立

解得.

(3)

则函数的对称轴方程为

①当时，函数在上单调递增.

即，解得，故舍去.

②当时，函数在上单调递减，在上单调递增.

即，解得（舍去）

③当时，函数在上单调递减

即，解得.

综上： .