Question

【题目】甲、乙两人轮流吹同一只气球，当且仅当气球内的气体体积（单位：毫升）大于2014时，气球会被吹破．先由甲开始吹入1毫升气体，约定以后每次吹入的气体体积为上一次体积的2倍或，且吹入的气体体积为整数．

（1）若谁先吹破气球谁输，问谁有必胜策略？证明你的结论．

（2）若在不吹破气球的前提下，约定单次吹入的气体体积最大者为赢家（如果吹入的体积相同，则最先吹出最大体积者为赢家）．问：谁有必胜策略？证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）设气球的最大体积为（当且仅当气球内气体体积大于时，气球被吹破）．

若甲有必胜策略，则记；若乙有必胜策略，则记．

当，4，…，9时，容易验证

，，，，．

猜想：，，其中，．

下面用数学归纳法证明猜想成立．

当时，经试验结论成立．假设当时，结论成立．考虑．

因为前两次甲、乙吹入的气体体积只能是甲1毫升、乙2毫升：

若第三次甲吹入1毫升，则乙吹入2毫升即转化为的情形，由归纳假设，最终乙胜；

若第三次甲吹入4毫升，则乙吹入2毫升即转化为的情形，由归纳假设，最终也是乙胜．

因此，．

当或时，甲第三次只需吹入1毫升，即转化为的情形，

于是，由归纳假设．

综上，由数学归纳法，知猜想成立．

因为，所以，．

故甲有必胜策略．

（2）设气球的最大体积为（当且仅当气球内气体体积大于时，气球被吹破）．若甲有必胜策略，则记；若乙有必胜策略，则记．

当，4，…， 9时，可以验证，．

一般地，猜想：当时，．

下面用数学归纳法证明猜想成立．

当，8，9时，由试验知结论成立．

假设当时，结论成立．

当时，因为前两次甲、乙吹入的气体体积只能是甲1毫升、乙2毫升，在第三次时甲只需吹入1毫升气体，即转化为的情形，由数学归纳法，最终甲是赢家，故．

所以，当时，甲有策略使自己成为最终的赢家．