Question

已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线的斜率为3．
（1）求实数a的值；
（2）若f（x）≤kx²对任意x＞0成立，求实数k的取值范围；
（3）当n＞m＞1（m，n∈N^*）时，证明：

n m

m n

＞

m

n

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,证明题,导数的综合应用

分析：（1）求出f（x）的导数，由切线的斜率为3，解方程，即可得到a；
（2）f（x）≤kx²对任意x＞0成立?k≥

1+lnx

x

对任意x＞0成立，令g(x)=

1+lnx

x

，则问题转化为求g（x）的最大值，运用导数，求得单调区间，得到最大值，令k不小于最大值即可；
（3）令h(x)=

xlnx

x-1

，求出导数，判断单调性，即得h（x）是（1，+∞）上的增函数，由n＞m＞1，则h（n）＞h（m），化简整理，即可得证．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax+xlnx，∴f'（x）=a+lnx+1，
又∵f（x）的图象在点x=e处的切线的斜率为3，
∴f'（e）=3，即a+lne+1=3，
∴a=1；     
（2）由（1）知，f（x）=x+xlnx，
∴f（x）≤kx²对任意x＞0成立?k≥

1+lnx

x

对任意x＞0成立，
令g(x)=

1+lnx

x

，则问题转化为求g（x）的最大值，
g′(x)=

1 x •x-(1+lnx)

x2

=-

lnx

x2

，令g'（x）=0，解得x=1，
当0＜x＜1时，g'（x）＞0，∴g（x）在（0，1）上是增函数；
当x＞1时，g'（x）＜0，∴g（x）在（1，+∞）上是减函数．       
故g（x）在x=1处取得最大值g（1）=1，
∴k≥1即为所求；           
（3）令h(x)=

xlnx

x-1

，则h′(x)=

x-1-lnx

(x-1)2

，
由（2）知，x≥1+lnx（x＞0），∴h'（x）≥0，
∴h（x）是（1，+∞）上的增函数，
∵n＞m＞1，∴h（n）＞h（m），即

nlnn

n-1

＞

mlnm

m-1

，
∴mnlnn-nlnn＞mnlnm-mlnm，
即mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn，
lnn^mn+lnm^m＞lnm^mn+lnnⁿ，ln（mnⁿ）^m＞ln（nm^m）ⁿ，
∴（mnⁿ）^m＞（nm^m）ⁿ，
∴

n m

m n

＞

m

n

．

点评：本题考查导数的综合应用：求切线方程和求单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值，考查不等式的证明，运用构造函数，求导数得到单调性，再由单调性证明，属于中档题．