Question

已知函数f（x）=16ln（1+x）+x²-10x，直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围

 

．

Answer 1

分析：先根据对数函数的定义求出f（x）的定义域，并求出f′（x）=0时x的值，在定义域内，利用x的值讨论f′（x）的正负即可得到f（x）的单调区间；再根据函数的增减性得到函数的极大值为f（2）和极小值为f（4），然后算出f（8）大于f（2），f（1）小于f（4）得到f（x）的三个单调区间（0，2），（2，4），（4，+∞）上，y=b与函数f（x）的图象各有一个交点，即满足f（4）＜b＜f（2），即可得到b的取值范围．

解答：解：由f（x）=f（x）=16ln（1+x）+x²-10x知，f（x）定义域为（-1，+∞），
f′ (x)=

2(x2-4x+3)

x+1

=

2(x-1)(x-3)

x+1

．
当x∈（-1，1）∪（3，+∞）时，f′（x）＞0，
当x∈（1，3）时，f′（x）＜0．
所以f（x）的单调增区间是（-1，1），（3，+∞），f（x）的单调减区间是（1，3）；
f（x）在（-1，1）上单调递增，在（1，3）上单调递减，在（3，+∞）上单调递增，
且当x=1或x=3时，f′（x）=0，所以f（x）的极大值为f（1）=16ln2-9，极小值为f（3）=32ln2-21．
又因为f（8）=48ln2-21＞16ln2-9=f（2），f（1）=0＜f（4），
所以在f（x）的三个单调区间（0，2），（2，4），（4，+∞）上，
直线y=b与y=f（x）的图象各有一个交点，当且仅当f（4）＜b＜f（2），
因此，b的取值范围为（32ln2-21，16ln2-9）．

点评：本题要求学生会利用导函数的正负得到函数的单调区间，会根据函数的增减性得到函数的极值，是一道综合题．