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    （本题满分14分）如图，在平行六面体ABCD-A1BC1D1中，

    已知:,且,O是B1D1的中点.

    (1) 求的长;

    (2) 求异面直线与所成角的余弦值.

     

    【答案】

    （1）；（2）.

    【解析】第一问利用已知的空间向量基本定理，表示体对角线的向量，然后利用数量积的性质，模的平方等于向量的平方，得到的长度

    第二问中，分别表示异面直线与所在的向量的坐标，通过求解向量的数量积来表示夹角，从而得到结论。

     (1) 解：设 AB = a ， AD = b ， AA1 = c ，则两两夹角为60°，且模均为1．

    （1） AC1 = AC + CC1 = AB + AD + AA1 = a + b + c ．

    ∴| AC1 |2=（ a + b + c ）2=| a |2+| b |2+| c |2+2 a • b +2 b • c +2 a • c=3+6×1×1×1 2 =6，

    ∴| AC1 |=  ，即AC1的长为  ．  ………………6分   

     (2) ………………14分

     

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       （1）求证：；

       （2）当E是棱CC1中点时，求证：CF//平面AEB1；

       （3）在棱CC1上是否存在点E，使得二面角A—EB1—B的大小是45°，若存在，求CE的长，若不存在，请说明理由。

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    （Ⅱ）求直线BE与平面ABCD所成角的正弦值

     

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    （I）求的长；

    （II）为何值时，的长最小；

    （III）当的长最小时，求面与面所成锐二面角余弦值的大小.

     

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       （1）求证：EF//平面ABC；

       （2）求证：平面平面C1CBB1；

       （3）求异面直线AB与EB1所成的角。

     

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