Question

7．（1）类比平面内直角三角形ABC的勾股定理，试给出空间中四面体P-DEF性质的猜想；
（2）证明第（1）问中得到的猜想．

Answer 1

分析 （1）类比平面内直角三角形ABC的勾股定理，即可给出空间中四面体P-DEF性质；
（2）设三个侧棱是a，b，c，可得三个侧面的面积，底面△DEF的面积，从而可得结论．

解答 （1）解：底面△DEF的面积为S₀，三个侧面的面积分别为S₁，S₂，S₃，则S₀²=S₁²+S₂²+S₃²．
（2）证明：设三个侧棱是a，b，c，则三个侧面的面积分别是$\frac{ab}{2}$，$\frac{bc}{2}$，$\frac{ac}{2}$．
三条底边的长为$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{\;}}$，$\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}$，
由余弦定理，可得底面的面积是$\frac{\sqrt{（ab）^{2}+（ac）^{2}+（bc）^{2}}}{2}$
∵底面△DEF的面积为S₀，三个侧面的面积分别为S₁，S₂，S₃，
∴S₀²=S₁²+S₂²+S₃²．

点评 本题考查类比推理，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．