Question

19．已知两个同底的正四棱锥的所有顶点都在同一球面上，它们的底面边长为2，体积的比值为$\frac{1}{2}$，则该球的表面积为9π．

Answer 1

分析 根据两个正四棱锥有公共底面，可得棱锥高之和即为球的直径，结合底面边长为2，则底面截球所得圆的半径为2，结合勾股定理求出球半径可得球的面积．

解答 解：∵两个正四棱锥有公共底面且两个正四棱锥的体积之比为$\frac{1}{2}$，
∴两个正四棱锥的高的比也为$\frac{1}{2}$．
设两个棱锥的高分别为X，2X，球的半径为R
则X+2X=3X=2R
即R=$\frac{3X}{2}$
球心到那个公共底面距离是$\frac{X}{2}$，
又∵底面边长为2
∴R²=（$\frac{3X}{2}$）²=（$\frac{X}{2}$）²+（$\sqrt{2}$）²，
解得X=1
∴R=$\frac{3}{2}$
该球的表面积S=4πR²=9π
故答案为：9π．

点评 本题给出两个正四棱锥有公共的底面，求外接球表面积，考查了正四棱锥的性质和球内接多面体等知识点，属于中档题．