Question

16．若数列A_n：a₁，a₂，…，a_n（n∈N^*，n≥2）满足a₁=0，|a_k+1-a_k|=1（k=1，2，…，n-1），则称A_n为L数列．记S（A_n）=a₁+a₂+…+a_n．
（1）若A₅为L数列，且a₅=0，试写出S（A₅）的所有可能值；
（2）若A_n为L数列，且a_n=0，求S（A_n）的最大值；
（3）对任意给定的正整数n（n≥2），是否存在L数列A_n，使得S（A_n）=0？若存在，写出满足条件的一个L数列A_n；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意，a₁=a₅=0，a₂=±1，a₄=±1，再根据|a_k+1-a_k|=1求出a₃=0或±2，可以得出符合题设的E数列A₅；
（2）由于A_n为L数列，且a₁=a_n=0，|a_k+1-a_k|=1，n必须是不小于3的奇数，S（A_n）最大的A_n，利用等差数列前n项和公式，S（A_n）=k²，即可求得S（A_n）的最大值；
（3）令c_k=a_k+1-a_k，分别求得a₂，a₃，a₄，…，a_n，由S（A_n）=a₁+a₂+a₃+…+a_n，求得S（A_n），由c_k=±1，1-c_k为偶数，可得n=4m，或n=4m+1（m∈N^*），分别求得L数列A_n，满足S（A_n）=0的表达式．

解答 解：（1）满足条件的L数列A₅，及对应的S（A₅）分别为：
（ i） 0，1，2，1，0．S（A₅）=4；（ ii） 0，1，0，1，0．S（A₅）=2；
（ iii） 0，1，0，-1，0．S（A₅）=0；（ iv） 0，-1，-2，-1，0．S（A₅）=-4；
（ v） 0，-1，0，-1，0．S（A₅）=-2；（ v i） 0，-1，0，1，0．S（A₅）=0．
因此，S（A₅）的所有可能值为：-4，-2，0，2，4．…（5分）
（2）由于A_n为L数列，且a₁=a_n=0，|a_k+1-a_k|=1（k=1，2，…，n-1），
故n必须是不小于3的奇数．…（7分）
于是使S（A_n）最大的A_n为：0，1，2，3，…，k-2，k-1，k，k-1，k-2，…，3，2，1，0．…（9分）
这里n=2k+1≥3（k、n∈N^*），并且S（A_n）=2[1+2+3+…+（k-1）]+k=k²，
∴k=$\frac{n-1}{2}$．
因此，S（A_n）_max=（$\frac{n-1}{2}$）²，（n为不小于3的奇数）．…（11分）
（3）令c_k=a_k+1-a_k（k=1，2，…，n-1），则c_k=±1，于是由a₁=0，
得a₂=c₁，
a₃=a₂+c₂=c₁+c₂，
a₄=a₃+c₃=c₁+c₂+c₃，
…
a_n=a_n-1+c_n-1=c₁+c₂+…+c_n-1，
故S（A_n）=a₁+a₂+a₃+…+a_n，
=（n-1）c₁+（n-2）c₂+（n-3）c₃+…+2c_n-2+c_n-1，
=[（n-1）+（n-2）+（n-3）+…+2+1]+（n-1）（c₁-1）+（n-2）（c₂-1）+（n-3）（c₃-1）+…+2（c_n-1-1）+（c_n-1-1），
=$\frac{n（n-1）}{2}$-[（n-1）（1-c₁）+（n-2）（1-c₂）+（n-3）（1-c₃）+…+2（1-c_n-2）+（1-c_n-1]．，
因c_k=±1，故1-c_k（k=1，2，…，n-1）为偶数，
所以（n-1）（1-c₁）+（n-2）（1-c₂）+（n-3）（1-c₃）+…+2（1-c_n-2）+（1-c_n-1）为偶数．
于是要使S（A_n）=0，必须$\frac{n（n-1）}{2}$为偶数，
即n（n-1）为4的倍数，亦即n=4m，或n=4m+1（m∈N^*）．…（14分）
（ i）当n=4m（m∈N^*）时，L数列A_n的项在满足：a_4k-1=a_4k-3=0，a_4k-2=1，a_4k=-1（k=1，2，…，m）时，S（A_n）=0．…（16分）
（ ii）当n=4m+1（m∈N^*）时，L数列A_n的项在满足：a_4k-1=a_4k-3=0，a_4k-2=1，a_4k=-1（k=1，2，…，m），a_4m+1=0时S（A_n）=0．…（18分）

点评 本题考查新定义及理解，考查等差数列前n项和公式及数列的综合运用，解题的关键在于对新定义的正确运用，属于中档题．