Question

【题目】已知函数（，）.

（1）若，且在内有且只有一个零点，求的值；

（2）若，且有三个不同零点，问是否存在实数使得这三个零点成等差数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】

（1）求出导函数，根据导函数的正负分布求解函数单调性,再根据在内有且只有一个零点，求得的值；

（2）若有三个不同零点，且成等差数列，可设利用待定系数法求解参数的取值.

（1）若，则，.

若，则函数在上单调递增,则，

故在无零点；

若，令，得，.

在上，，单调递减，

在上，，单调递增.

又在内有且只有一个零点，则，

得，得,得.

（2）因为，则，若有三个不同零点，且成等差数列，

可设

,

故，则，故，，.此时，，，故存在三个不同的零点，故符合题意的的值为.