Question

18．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为$\frac{1}{2}$，右焦点到左顶点的距离为3．
（1）、求椭圆的方程；
（2）、直线l过点E（-1，0）且与椭圆交于A，B两点，若$\overrightarrow{AE}$=2$\overrightarrow{EB}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：焦点在x轴上，椭圆的方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，即a=2c，a+c=3，解得：a与c，则b²=a²-c²=3，即可求得椭圆的方程；
（2）当l为x轴时，可得A（-2，0），B（2，0），$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{EB}$，不合题意，设l：x=my-1，代入椭圆方程，由韦达定理可知：${y_1}+{y_2}=\frac{6m}{{3{m^2}+4}}，{y_1}{y_2}=-\frac{9}{{3{m^2}+4}}$，由$\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{EB}$，y₁=-2y₂，代入即可求得$m=±\frac{2}{{\sqrt{5}}}$，求得直线l的方程．

解答 解：（1）由题意可知：焦点在x轴上，椭圆的方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，
由离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，即a=2c，
由右焦点到左顶点的距离为3，a+c=3，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ c=1\end{array}\right.$，
∴b²=a²-c²=3…（4分）
∴椭圆的方程为：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；…（5分）
（2）当l为x轴时，可得A（-2，0），B（2，0），
则$\overrightarrow{AE}$=（1，0），$\overrightarrow{EB}$=（3，0），
∴$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{EB}$，不合题意，
当斜率不为0时，设l：x=my-1，则由$\left\{\begin{array}{l}x=my-1\\ 3{x^2}+4{y^2}=12\end{array}\right.$，整理得（3m²+4）y²-6my-9=0…（7分）
令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则由韦达定理可知：${y_1}+{y_2}=\frac{6m}{{3{m^2}+4}}，{y_1}{y_2}=-\frac{9}{{3{m^2}+4}}$，…（8分）
由$\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{EB}$，
∴y₁=-2y₂，消去y₁，y₂，整理得：$\frac{{72{m^2}}}{{3{m^2}+4}}=9$，
∴$m=±\frac{2}{{\sqrt{5}}}$…（11分）
∴l的方程为：$\sqrt{5}x+2y+\sqrt{5}=0$或$\sqrt{5}x-2y+\sqrt{5}=0$…（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及向量共线定理的应用，考查计算能力，属于中档题．