Question

数列{a_n}满足a₁=1，a₂=3，且a_n+2=（1+2|cos

nπ

2

|）a_n+|sin

nπ

2

|，（n∈N₊）
（1）证明：数列{a_2k}（k∈N₊）为等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求数列{a_n}的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设n=2k，k∈N^*，由已知条件推导出

a2k+2

a2k

=3，由此能证明数列{a_2k}为等比数列．
（2）设n=2k-1，由已知条件推导出a_2k+1-a_2k-1=1，从而得到a_2k-1=k．由此能求出an ．
（3）设数列{a_n}的前n项和为Tn ，利用分类讨论思想和分组求和法能求出数列{a_n}的前n项和．

解答： （1）证明：设n=2k，k∈N^*，
∵a_n+2=（1+2|cos

nπ

2

|）a_n+|sin

nπ

2

|，（n∈N₊），
又a₂=3，
∴

a2k+2

a2k

=3．
∴当k∈N^*时，数列{a_2k}为等比数列．
∴a_2k=a₂•3^k-1=3^k．
（2）解：设n=2k-1，k∈N^*．
由a_2k+1=（1+2|cos

(2k-1)π

2

|）a_2k-1+|sin

(2k-1)π

2

|=a_2k-1+1，
∴a_2k+1-a_2k-1=1．
∴当k∈N^*时，数列{a_2k-1}为等差数列．
∴a_2k-1=a₁+（k-1）•1=k．
∴an =

3 n 2 ，n是偶数 n+1 2 ，n是奇数

．
（3）解：设数列{a_n}的前n项和为Tn ．
由（2）知：
当n为奇数时，T_n=a1 +a2+a3+…+an-1+an
=1+3+2+3²+3+3³+4+3⁴+…+3

n-1

2

+

n+1

2

=（1+2+3+4+…+

n+1

2

）+（3+3²+3³+3⁴+…+3

n-1

2

）
=

n+1 2 (1+ n+1 2 )

2

+

3(1-3 n-1 2 )

1-3

=

n+1

4

(1+

n+1

2

)+

3

2

（3

n-1

2

-1）．
当n为偶数时，T_n=a1 +a2+a3+…+an-1+an
=1+3+2+3²+3+3³+4+3⁴+…+

n-1

2

+3

n

2

=（1+2+3+4+…+

n-1

2

）+（3+3²+3³+3⁴+…+3

n

2

）
=

n-1 2 (1+ n-1 2 )

2

+

3(1-3 n 2 )

1-3

=

n2-1

4

+

3

2

（3

n

2

-1）．

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．