Question

全美职业篮球联赛（NBA）某年度总决赛在雷霆队与迈阿密热火队之间角逐，比赛采用七局四胜制，即若有一队先胜四场，则此队获胜，比赛就此结束．因两队实力相当，故每场比赛获胜的可能性相等．据以往资料统计，第一场比赛组织者可获门票收入2000万美元，以后每场比赛门票收入比上场增加100万美元，当两队决出胜负后，问：
（1）组织者在此次决赛中要获得门票收入不少于13500万元的概率为多少？
（2）某队在比赛过程中曾一度比分落后2分以上，最后取得全场胜利称为“逆袭”，求雷霆队“逆袭”获胜的概率；
（3）求此次决赛所需比赛场数的分布列及数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,相互独立事件的概率乘法公式

专题：应用题,概率与统计

分析：（1）先确定至少要比赛6场，再求出相应的概率，即可求出组织者在此次决赛中要获得门票收入不少于13500万元的概率为多少？
（2）雷霆队“逆袭”获胜，可能通过6场或7场获胜，分类求概率，即可求雷霆队“逆袭”获胜的概率；
（3）所需比赛场数ξ是随机变量，其取值为4，5，6，7．求出相应的概率，即可求此次决赛所需比赛场数的分布列及数学期望．

解答： 解：（1）因2000+2100+2200+2300+2400+2500=13500，故至少要比赛6场．
当进行比赛6场时，某一队获胜的概率为P(6)=

5

16

，
当进行比赛7场时，某一队获胜的概率为P(7)=

5

16

，
所以收入不少于13500万元的概率为P(6)+P(7)=

5

16

+

5

16

=

5

8

=0.625．
（2）雷霆队“逆袭”获胜，可能通过6场或7场获胜．
当6场获胜时，则1、2场败，3、4、5、6胜，概率为(

1

2

)6=

1

64

；
当7场获胜时，则4胜3败，
①若前2场都败，则另外1败可以任意发生在第3、4、5、6中的一场，所以“逆袭”获胜概率为

C

1 4

•(

1

2

)7=

1

32

．②若前2场1胜1败，则第3、4场必须败，所以“逆袭”获胜概率为

C

1 2

•(

1

2

)7=

1

64

，
故雷霆队“逆袭”获胜的概率为

1

64

+

1

32

+

1

64

=

1

16

．
（3）所需比赛场数ξ是随机变量，其取值为4，5，6，7．若比赛最终获胜队在第k场获胜后结束比赛，则显然在前面k-1场中获胜3场，
从而P(ξ=k)=

C

3 k-1

(

1

2

)k-1，k=4，5，6，7．
①分布列为：

ξ	4	5	6	7
P	1 8	1 4	5 16	5 16

②所需比赛场数的数学期望是E(ξ)=4×

1

8

+5×

1

4

+6×

5

16

+7×

5

16

=

93

16

．

点评：本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列和期望，考查分类讨论的数学思想，正确求概率是关键．