Question

如图，已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂且焦距为2

2

．点M为椭圆E上的一个动点，当MF₂垂直于x轴时，恰好|MF₁|：|MF₂|=3：1．已知直线l与圆C：x²+y²=

4

3

相切，且与椭圆E相交于A、B两点，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）探究

OA

•

OB

是否为定值，若是，求出

OA

•

OB

的值；若不是，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）把F₂（c，0）代入

x2

a2

+

y2

b2

=1得y=

b2

a

，从而可得|MF₂|=

b2

a

，|MF₁|=

3b2

a

，由

b2

a

+

3b2

a

=2a及a²-b²=c²=

2

2=2，可求a²，b²；
（2））①若直线l的斜率不存在时，易证：

OA

•

OB

=0；②若直线l的斜率存在时，设其方程为：y=kx+m，由直线与圆相切，得

|m|

m2+1

=

2

3

，整理得3m²=4k²+4，联立y=kx+m与椭圆方程有（2k²+1）x²+4kmx+2m²-4=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韦达定理及向量数量积运算可求结果；

解答： 解：（1）把F₂（c，0）代入

x2

a2

+

y2

b2

=1得y=

b2

a

，
则|MF₂|=

b2

a

，由|MF₁|：|MF₂|=3：1得|MF₁|=

3b2

a

，
又

b2

a

+

3b2

a

=2a，∴a²=2b²，
∵a²-b²=c²=

2

2=2，
∴b²=2，a²=4，
∴

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）①若直线l的斜率不存在时，易证：

OA

•

OB

=0，
②若直线l的斜率存在时，设其方程为：y=kx+m，直线与圆相切，
则

|m|

m2+1

=

2

3

，从而3m²=4k²+4，
把直线方程：y=kx+m代入椭圆方程有（2k²+1）x²+4kmx+2m²-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则△＞0，且x₁+x₂=

-4km

2k2+1

，x1x2=

2m2-4

2k2+1

，

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=

1

2k2+1

(3m2-4k2-4)=0．

点评：该题考查椭圆的方程、性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查方程思想，考查学生运算求解能力．