Question

如图1在等腰梯形B中，AB∥CD，AB=2BC=2CD=2，E是AB的中点，F是DE的中点，沿直线DE将△ADE翻折，使二面角A-DE-B为60°（如图2）．

（Ⅰ）证明：FC不可能与AB垂直；
（Ⅱ）取AB的中点G，求证：EG∥面AFC；
（Ⅲ）求AB与面BCDE所成角的正切值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）假设FC⊥AB，推出FC与AC成60°，说明假设不成立，即可证明：FC不可能与AB垂直；
（Ⅱ）取AB的中点G，取AC中点H，连FH，GH，利用直线与平面平行的判定定理证明EG∥面AFC；
（Ⅲ）取FC中点M，说明∠ABM为AB与面BCDE所成角．在△ABM中，求AB与面BCDE所成角的正切值．

解答： 解：（Ⅰ）证：假设FC⊥AB，由已知平面图形得FC⊥AB，
∴FC⊥面ACB，
∴FC⊥AC
由已知得∠AFC为A-DE-B的平面角60°，
又AF=FC∴△AFC为正三角形，
即FC与AC成60°∴假设不成立．
∴FC不可能与AB垂直．----------------------------------（5分）
（Ⅱ）取AC中点H，连FH，GH，
∴GH∥FE∥BC且GH=FE=

1

2

BC
即四边形EFHG为平行四边形∴FH∥EG，EG?面AFC，FH?面AFC，
∴EG∥面AFC------------------------------------------------（10分）
（Ⅲ）由已知得面AFC⊥面BCDE，取FC中点M，
得到AM⊥FC∴AM⊥面BCDE，
∴∠ABM为AB与面BCDE所成角．
记BC=a，则FC=

3 a

2

，
在△ABM中，
∴AM=

3a

4

，BM=

19 a

4

∴tan∠ABM=

3 19

19

-------（15分）

点评：本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面所成角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力．