Question

空气质量指数（AQI）是衡量空气质量好坏的标准，表是我国南方某市气象环保部门从去年的每天空气质量检测数据中，随机抽取的40天的统计结果：

空气质量指数（AQI）	国家环保标准	频数（天）	频率
[0，50]	一级（优）	4
（50，100]	二级（良）	20
（100，150]	三级（轻度污染）	8
（150，200]	四级（中度污染）	4
（200，300]	五级（重度污染）	3
（300，+∞]	六级（严重污染）	1

（1）若以这40天的统计数据来估计，一年中（365天）该市有多天的空气质量达到优良？
（2）若将频率视为概率，某中学拟在今年五月份某三天召开运动会，以上表的数据为依据，问：
①这三天空气质量都达标（空气质量属一、二、三级内）的概率；
②设ξ表示这三天中空气质量达到五级或六级的天数，求Eξ．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式

专题：综合题,概率与统计

分析：设P（ξ=i）（i=1，2，3，4，5，6）表示空气质量达到第I级的概率．
（1）空气质量达到优良的概率约为：P（ξ=1）+P（ξ=2）；
（2）①气质量都达标（空气质量属一、二、三级内）的概率P（ξ=1）+P（ξ=2）+P（ξ=3），进而根据相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式，可得答案；
②ξ～B（3，0.1），则可求Eξ．

解答： 解：设P（ξ=i）（i=1，2，3，4，5，6）表示空气质量达到第I级的概率，
由已知中的频率分布表可得：
P（ξ=1）=

4

40

=0.1；P（ξ=2）=

20

40

=0.5；P（ξ=3）=

8

40

=0.2；
P（ξ=4）=

4

40

=0.1；P（ξ=5）=

3

40

=0.075；P（ξ=6）=

1

40

=0.025；
（1）∵空气质量达到优良的概率约为：P（ξ=1）+P（ξ=2）=0.6，
故一年中（365天）该市空气质量达到优良的天数约为365×0.6=219天；
（2）①空气质量都达标（空气质量属一、二、三级内）的概率P（ξ=1）+P（ξ=2）+P（ξ=3）=0.8，
故这三天空气质量都达标（空气质量属一、二、三级内）的概率P=（0.8）³=0.512，
②ξ～B（3，0.1），则Eξ=3×0.1=0.3．

点评：本题考查的知识点是频率分布表，相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式，难度不大．